5. Theoretische Untersuchungen
über elastische Körper; von Paul Glan.

V. Theorie des Lichtes als Wellenbewegung der gewöhnlichen

Körper.

Die Aenderungen der Vectoren der elastischen Kräfte 4α, Aα, Aα, welche infolge einer unendlich kleinen Gestaltsänderung eines unendlich kleinen Parallelepipeds eines elastischen Körpers eintreten, die durch die Werthe t, m1,..., ng der Temperatur und der Gestaltsvariabeln und deren Zunahmen dt, dm,,..., dn, während derselben bestimmt wird, sofern diese die Anfangs- und Endwerthe dieser Grössen bei der betrachteten unendlich kleinen Zustandsänderung charakterisiren, sind bisher nur in ihrer Abhängigkeit von den Zunahmen dt, dm, ..., dn, betrachtet worden. Es sind aber auch Erscheinungen bekannt, welche eine Abhängigkeit dieser Aenderungen der Vectoren der elastischen Kräfte bei einer Gestaltsänderung von der Zeit darthun, in der sie sich vollzieht. Die elastischen Kräfte, welche das Innere eines Elementes des Körpers auf seine Umgrenzung ausübt, können nur von seinem Zustande abhängen und können sich nicht ändern, wenn es in seinem augenblicklichen Zustande erhalten bleibt und von den es umgebenden Elementen des Körpers getrennt wird. Wir betrachten hier nur diejenigen Zustände desselben, bei denen es sich fortdauernd im Gleichgewichte unverändert erhält, wenn die äusseren und inneren Kräfte in einem Augenblicke im Gleichgewichte sind. Der augenblickliche Zustand eines einzelnen, von den angrenzenden getrennt gedachten Elementes, sofern er auf seine inneren elastischen Kräfte von Einfluss sein kann, wird dann nur durch die Werthe seiner Gestaltsvariabeln und Temperatur und ihrer sämmtlichen Theil-· ableitungen nach der Zeit bestimmt. Es können dann ▲α, 4, 4a, nur vector Functionen der Anfangswerthe derselben und ihrer Zunahmen während eines Zeittheilchens dt sein.

In derselben Weise wie früher kann dann 4α, 4α2, 4α3

in Ausdrücken, vermittels der Mac Laurin'schen Reihe für Quaternionen, bis zu den Gliedern mit den ersten Potenzen dieser Zunahmen in den Formen entwickelt werden:

μ1dm1 + μïdm2+ μïdm ̧+ vídn ̧ + ví dn2+ vïdnz, ▲′′α1 ={μ'1,2 D} m1 + μí,‚1⁄2 Dî m2 + μï‚1⁄2D2 m2

und entsprechende Gleichungen gelten für Vα1, s"αz,..., s'αz, "as,..., in denen die ersten Indices der vector Factoren den unteren Indices von a,, α, α, ihre zweiten Indices den oberen der entsprechen und 4a1,..., Stαz,..., Ata, die Glieder mit den Factoren dt, Dit dt, Ditdt, darstellen. Die vector Factoren in diesen Gleichungen sind zunächst als Functionen der Anfangswerthe m1,..., ng, t, D+my Ding, Dit,... anzusehen. Diese vector Factoren kann man, wie früher, nach Potenzen der unendlich kleinen Werthe der Gestaltsvariabeln m,,..., ng entwickeln, dann sind die vector Factoren dieser Entwickelungen nur noch als Functionen von t, D2t, ..., D¿m, ..., Ding, Ding,... zu betrachten. Für sehr langsame Gestaltsänderungen bei nahezu constanter Temperatur sind sie als unabhängig von den Theilableitungen der Gestaltsvariabeln nach der Zeit erfahrungsmässig sehr nahezu anzusehen und das ist auch die nächstliegende Annahme für schnelle Gestaltsänderungen. Demnach wären sie dann nur noch als Functionen der Temperatur und ihrer Theilableitungen nach der Zeit zu betrachten. Auch eine Abhängigkeit dieser vector Factoren von diesen letzteren Theilableitungen soll zunächst nicht in Rechnung gezogen werden und sie wären dann nur noch als Functionen der Temperatur anzusehen. Für alle Zustandsänderungen constanter Temperatur haben sie dann danach den gleichen Werth. Denken wir uns

von einem bestimmten Anfangszustande aus die Gestalt eines unendlich kleinen Parallelepipeds des betrachteten elastischen Körpers bei constanter Temperatur unendlich wenig und so langsam verändert, dass die Theilableitungen der Gestaltsvariabeln nach der Zeit vernachlässigt werden können, und es sollen die Kanten des Würfels, zu dem dies Parallelepiped im Zustande ohne innere elastische Kräfte wird, den krystallographischen Axen seiner Masse parallel sein, wenn er ein Krystall ist. Die Ausdrücke für 4α1, 4ɑ2, 4α, werden dann die früheren und ihre elastischen vector Constanten ui,...vg', also diejenigen von 4', 'α, 'as in den hier entwickelten Ausdrücken für 41, 42, 4a, erhalten ihre früheren Werthe und sind in derselben Weise wie früher zu bestimmen.

Es mag jetzt zweitens dasselbe Parallelepiped von demselben Anfangszustande aus bei constanster Temperatur in der Weise sich ändern, dass ausser den unendlich kleinen Zunahmen der Gestaltsvariabeln auch ihre ersten Theilableitungen nach der Zeit berücksichtigt werden müssen, doch keine höheren, dass es zum Beispiel seine Gestalt unendlich wenig mit.constanter Beschleunigung verändert, dann würden für die hierdurch entstehenden Zunahmen der Vectoren der elastischen Kräfte 41, 42, 4, beziehlich zu setzen sein ▲′α1+4′′α2, S′ ɑ2+4′′ α1⁄2‚. S'ɑz+4′′ag. Die betrachtete Gestaltsänderung soll derart sein, dass sich nur m1, m, m2 beziehlich um dm, dm, dm, ändert und zwar sei dm2 = w1⁄2 dm1, und dmg wg dm, und die Anfangsgestalt hierbei die eines rechtwinkligen Parallelepipeds. Dann ist nach Früherem

1

=

- e̟1dm1 Ud w1 +(μ'1,2 D} m1 +μ'ï,2 D‡ m2+μí‚1⁄2 D‡ m2) dt,

▲ α2 = (μ2,2 D3 m1 + μ2,2 D‡ m2+ μ1⁄2‚1⁄2 Dỉ m2) d t,

▲ α ̧ = (μ3.2 D‡ m ̧ + μ3,2 D‡ m2+ μ1⁄21⁄2 D‡ m2) d t .

Wenn nun die Masse des Parallelepipeds nichtkrystallinisch ist, so muss eine Abhängigkeit der Vectoren μ1,2,.. ... μ3,2 von einander wegen der physikalischen Gleichartigkeit der Masse in Bezug auf jede Richtung bestehen. Zunächst ist in Bezug auf die durch ▲′′ɑ ̧‚ s′′ɑ1⁄2, s′′ɑz dargestellten Kräfte, die aus

μ3,2.

reinen, mit der Zeit an Grösse wechselnden Dehnungen nach den Richtungen der Kanten des Parallelepipeds hervorgehen, anzunehmen, dass sie normal zu den Flächen sind, denen sie zugehören. Da dieses für jedes Werthsystem Dim,, D} m1⁄2, Dim, gelten muss, so sind dann μí,2, μí,2, μ,2 als parallel mit dem gemeinsamen Versor Udq, zu betrachten, der gemeinsame Versor von 2,2, 22, 22 ist UdPw, und Ud pos der von 3,2, 32, 32. Die Coefficienten dieser Versoren können dann positiv und negativ sein und mögen mit ei,a, bezeichnet werden. Wenn dann in Bezug auf die Kanten parallel der Richtung 1 einmal dieselbe Zustandsänderung erzeugt wird, wie danach in betreff der Kanten parallel der Richtung 2 und sich in beiden Fällen die Zustandsänderungen nach den Richtungen 2 und 3, beziehlich 1 und 3 gleichen, muss Ta1 im ersteren Falle gleich T▲′′α, im zweiten Falle sein, und deshalb

= €2,2.

...

e1,2 = e2.2, e1,2 = €2,2, e1,2 Entsprechende Betrachtungen in betreff der Richtungen 1 und 3 beziehlich 2 und 3 führen zu den Gleichungen

€1,2=e3,2, €1,2=e3,2, e1,2=e3,2 und e2,2=e3,2, e2,2 €3,2, €2,2=€3,2. Daraus folgt für einen Nichtkrystall:

▲′′ a1 = (e(2) D‡ m1 + é(2) D} m2 + é(2) Dî m2) U d ∞, dt,
▲′′ α2 = (e(2) Di m1 + é(2) D} m2 + é(2) D‡ m ̧) Ud p∞dt,

4′′ α = (é(2) D} m1 + е(2) Dî m2 + e(2) Di m2) Ud∞ dt.

Da die Vectoren u1,2, nur als Functionen der Temperatur in betreff ihres Tensors anzusehen sind und die betrachteten Gestaltsänderungen als unendlich klein, können die letzteren Ausdrücke allgemein die Glieder mit den Beschleunigungen der Dehnungsvariabeln in den Vectoren "a1, s"αz, s′′ αz für einen Nichtkrystall darstellen.

Wenn die Beschleunigungen der Gestaltsvariabeln nicht constant sind, jedoch ihre dritten Theilableitungen nach der Zeit, muss zu den beiden ersten Gliedern in den allgemeinen

Ausdrücken für 41, 42, 4α, auch noch das dritte, also beziehlich ""α1, 4"ɑz, 4" αz hinzugefügt werden. Δ"" Entsprechende Betrachtungen, wie sie eben angestellt wurden, führen dann bei einem Nichtkrystall zu ähnlichen Ausdrücken für die Glieder mit den dritten Theilableitungen der Dehnungsvariabeln nach der Zeit, wie sie eben für die mit ihren zweiten hergeleitet wurden. Die beiden Constanten in ihnen mögen mit és) und es bezeichnet werden und in ähnlicher Weise sind auch die weiteren Glieder in den Ausdrücken für 4α1, 42, 4g für Nichtkrystalle zu bilden, welche die Theilableitungen der Dehnungsvariabeln nach der Zeit enthalten.

Δ

Da die vector Factoren in den Ausdrücken für 4a,, 42, 4, nach dem vorigen nur als Functionen der Temperatur anzusehen und mithin bei gleicher Temperatur für alle unendlich kleinen Zustandsänderungen die gleichen sind, können sie mit Hülfe besonders gewählter bestimmt werden. Es mag sich zuerst bei constanter Temperatur nur n, um dn1 ändern, Din1, Din1 und die höheren Theilableitungen nach der Zeit dagegen verschwindend klein sein. Man würde dann in derselben Weise wie früher finden

und in entsprechender Weise wie früher, wenn stets die zweiten und höheren Theilableitungen der Verdrehungsvariabeln nach der Zeit unberücksichtigt bleiben können,

Sind die betrachteten Gestaltsänderungen bei constanter Temperatur derart, dass auch die zweiten und höheren Theilableitungen der Verdrehungsvariabeln nach der Zeit berücksichtigt werden müssen, so ist zunächst anzunehmen, dass durch das Hinzukommen der Glieder mit ihnen in den Ausdrücken für ▲α12, 4α, 4α, nur die Grösse der Kraft verändert wird, und im besonderen die Glieder mit den zweiten und höheren Theilableitungen einer Verdrehungsvariabeln, z. B. n, einen vector Zuwachs von derselben, oder entgegengesetzten, Richtung erzeugen wie das Glied mit dem ersten Differential dieser Verdrehungsvariabeln. Dann wäre also zu nehmen.

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Ann. d. Phys. u. Chem. N. F. 56.

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