Resultat: Die Drehung der Polarisationsebene des Lichtes durch den Quarz lässt sich für das sichtbare Spectrum darstellen durch die Formel: die hierdurch gegebenen Werthe dürften für den mittleren Theil des Spectrums etwa bis auf 0,005°, für die beiden Enden bis auf 0,01° richtig sein. Diese wird für das sichtbare Spectrum ungefähr ebenso genau sein, wie die voranstehende dreigliedrige Formel; für das infrarothe und ultraviolette Ende dürften die Fehler 0,1° kaum übersteigen. μμ Eine Abhängigkeit des Temperaturcoefficienten des Quarzes von der Wellenlänge hat sich für die Wellenlängen λ= 656 μμ bis 2 = 436 μμ nicht nachweisen lassen. Im Temperaturintervall (0° 100°) wird die Abhängigkeit der Drehung von der Temperatur dargestellt durch die quadratische Formel: t = o [1 +0,0,131 +0,0,195 t2], in der Nähe von 20° durch die lineare Formel: 20 = 4t[1 +0,0,14 (20o — to)]. (Eingegangen 11. Januar 1898.) 11. Ein einfacher Fall der transversalen Schwingung einer rechteckigen elastischen Platte; von C. Zeissig. (Hierzu Taf. I u. II.) 1) Für transversal schwingende rechteckige elastische Platten mit freien Rändern ist bis jetzt eine Integration der Differentialgleichung noch nicht gelungen. Für rechteckige Platten mit festen Rändern ist die Integration wohl möglich, für diesen Fall lassen sich aber Beobachtungen nicht anstellen. Es hat Herr Prof. W. Voigt) die Bemerkung gemacht, dass, wenn zwei Gegenkanten einer rechteckigen Platte frei, die zwei anderen aber in bestimmter Weise festgehalten sind, die Integration durchführbar ist und gleichzeitig sich dieser Fall praktisch verwirklichen lässt. Man schärfe zwei Gegenkanten einer rechteckigen Platte keilförmig zu und klemme die Platte mit diesen Kanten zwischen zwei feste Wände, sodass die Punkte dieser Kanten an transversalen Verschiebungen verhindert sind, aber Drehungen der Platte um diese Kanten stattfinden können; lässt man zugleich die beiden anderen Gegenkanten frei, so hat man eine Befestigungsart, bei der die Erregung dauernder Schwingungen ausführbar ist und die ausserdem eine strenge theoretische Behandlung zulässt. Die Durchführung dieses besonderen Problems der transversalen Schwingung einer rechteckigen Platte ist die Aufgabe der vorliegenden Arbeit. Die von Herrn Voigt bereits durchgeführte Integration der Hauptgleichung ist im folgenden ersten Paragraphen zunächst im Auszug wiedergegeben. 1) Die Tafeln wurden uns von dem Hrn. Verfasser freundlichst geliefert. 2) W. Voigt, Bemerkungen zu dem Problem der transversalen Schwingungen rechteckiger Platten, Gött. Nachr. Nr. 6. 1893. Erster Theil. Theoretische Behandlung des Problems. a b -X § 1. Aufstellung der Gleichungen. Integration. Es werde ein rechtwinkliges Coordinatensystem zu Grunde gelegt, dessen XY-Ebene in der Mittelfläche der rechteckigen Platte liege. Die Axen X und Y des Y Coordinatensystems seien parallel den beiden freien bez. den beiden geklemmten Kanten der Platte, und der Coordinatenanfang sei in die Mitte der einen geklemmten Kante gelegt (vgl. Fig. 1). Bezeichnet man mit w die transversale Verrückung, so ist die Hauptgleichung für das Innere der Platte 1) unter Annahme stationären Zustandes Fig. 1. Hierin bedeutet D die Dicke der Platte, & die Dichte ihrer Substanz, c e und C1 die Elasticitätsconstanten derselben. Setzt Diese partielle Differentialgleichung gilt allgemein für ebene Platten, jedoch ist sie unter der Annahme abgeleitet worden, dass die Dicke der Platte unendlich klein gegenüber ihren Querdimensionen sei. Die Länge der Platte in der Richtung der X-Axe sei a, in der Richtung der Y-Axe 26. Dann sind die festen Kanten der Platte gegeben durch x = 0 und x = a, und dort gilt 1) Vgl. Kirchhoff, Crelle's Journal 40. p. 40 1850 oder W. Voigt, Compend. der theor. Phys. 1. p. 451. welche letztere Gleichung aussagt, dass keine Drehungsmomente um die Kanten x = 0 und x = a bestehen können, da eben die Platte um diese Kanten drehbar befestigt ist. wird sogleich den beiden Randbedingungen (3) genügt. Dabei ist unter v eine Function von y allein verstanden; T bedeutet die Dauer einer Schwingung der Platte und p ist definirt durch wobei h eine der ganzen Zahlen 1, 2, 3 ... ist. Wird der Ansatz für w in die Hauptgleichung (2) eingesetzt, so folgt für die Function die Gleichung q hat also 4 Wurzelwerthe. Diese 4 Wurzeln sind solange reell, als r2 kleiner als 1 ist. Ist r2 grösser als die Einheit, so werden zwei der Wurzeln rein imaginär. Dieser Unterscheidung entsprechend sind zwei Gestalten particulärer Lö sungen zu betrachten, welche sich nach Einführung hyperbolischer Functionen folgendermaassen schreiben: (8) (9) 1. Fall. 0 < p2 < 1 v′ = d′ Cos (yp √1 +r2) + B′ Coj (yp √1 — r2) + C'Sin(yp√1 + r2) + D'Sin(yp √1 2. Fall. 1 < p2 < ∞ v = r2) A Cos (yp √r2 + 1) + B cos (yp √r2 — 1) + CSin(yp Vr2 + 1) + D sin (yp √r2 — 1) A B C D' und ABCD sind Constante. Zu ihrer Bestimmung dienen die Grenzbedingungen (4), welche bis jetzt noch nicht erfüllt sind. Da die Ausdrücke für und Glieder, welche in Bezug auf y gerade, und Glieder, welche ungerade sind, enthalten, werden sich die Grenzgleichungen (4) nach Einführung der Ausdrücke v und in je zwei Theile spalten, die sich beim Zeichenwechsel von y verschieden verhalten; der eine Theil wird ungeändert bleiben, der andere das Vorzeichen mit y wechseln. Nach den Grenzbedingungen soll die Summe der beiden Theile sowohl für yb, als für y schwinden. Das kann aber nur geschehen, wenn jeder Theil für sich zu Null wird; also müssen die Grenzbedingungen (4) getrennt durch die geraden Glieder in den Ausdrücken v' und v = 01 ACos (yp Vr2 + 1) + B cos (yp √r2 1) = und durch die ungeraden Glieder v2 = C'Sin(yp √ 1 + r2) + D ́ Sin (yp √ 1 – r V2 = CSin (yp √ r2 + 1) + D sin (yp √ 7.2 1) (11) erfüllt werden. Diese Zerlegung von und v in - b ver v' = v1 + v1⁄2'′ v = v1 + v 2 führt also zu vier verschiedenen Gleichungspaaren, je nachdem v1, v2', v1 oder Va in die Grenzgleichungen (4) eingesetzt wird. |
