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sich die Welt dicht mit Elektronen belegt denkt und die Radien der Elektronen zur Grenze Null bringt, so daß man ein elektrisches Fluidum hätte in Analogie zur idealen Flüssigkeit. Die Bewegungsgleichungen würden lauten:

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Wie wir sehen, bewirken die im Falle des elektrischen Fluidums herrschenden Kräfte eine Abweichung von der geodätischen Linie, welche im Falle der idealen Flüssigkeit beschrieben wurde. Der Materietensor ist auch ein anderer. Zu o✰✰ (bzw. zu dessen elektromagnetischer Interpretation) kommt jetzt der elektromagnetische Spannungstensor hinzu, dessen Divergenz fa ist:

μ

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Da fa die Divergenz eines Teiles des Materietensors ist, sieht man leicht, daß auch in diesem Falle die Einsteinschen Divergenzgleichungen aus den Bewegungsgleichungen folgen.

Zu der phänomenologischen Auffassung, die z. B. in der relativistischen Himmelsmechanik vorherrscht, wird zum Integral (2+) do noch ein Integral fdm f ds hinzugefügt, das für die Bewegung der ponderablen Materie verantwortlich sein soll. Man hat da gleichberechtigt die Begriffe: Materie, Gravitationsfeld, elektromagnetisches Feld. Für eine prinzipielle Erforschung der Materie aber darf man nicht so vorgehen; von diesem Standpunkte aus sind bloß die beiden Felder das in der Anschauung tatsächlich Gegebene, und die Materie: der Träger der Bewegung, sowie ihr Charakteristikum: die träge Masse, sind Konstruktionen daraus. Dies haben wir analytisch dadurch zur Darstellung gebracht, daß wir bloß das erste Integral benutzten und durch Anwendung einer bestimmten Variationsart die Bewegungsgleichungen ableiteten. Dabei ist vorausgesetzt worden, daß die beiden Felder den Verlauf einer

80 R. J. Humm. Über die Bewegungsgleichungen der Materie.

der,,materiellen Weltlinien"

Schar von Weltlinien bestimmen, und umgekehrt in der Weise davon abhängen, daß eine Änderung in ihrem Verlauf jene Felder nach gewissen Gesetzen beeinflußten. Diese Gesetze werden uns zu virtuellen Bedingungen. Dies näher auszuführen, sowie die Energiegleichungen genauer zu untersuchen, wird das Ziel einer folgenden Arbeit sein.

Göttingen, den 28. Mai 1918.

(Eingegangen 31. Mai 1918.)

Druck von Metzger & Wittig in Leipzig.

ANNALEN DER PHYSIK.

VIERTE FOLGE. BAND 57.

1. Die Anwendung der Planckschen Erweiterung der Quanten hypothese auf rotierende Gebilde mit zwei Freiheitsgraden in einem Richtungsfelde1); von Sophie Rotszajn.

§ 1. Nachdem die Quantentheorie von Planck selbst und nach ihm von Sommerfeld, Schwarzschild und Epstein auf Gebilde mit mehreren Freiheitsgraden erweitert wurde, ist es von prinzipiellem Interesse, verschiedene Probleme, die vorher notgedrungen für Gebilde mit einem Freiheitsgrad gelöst worden sind, auf dieser erweiterten Grundlage zu behandeln.

Zu jenen Problemen gehören: erstens die direkte Berechnung der rotatorisch-spezifischen Wärme für Gebilde mit zwei Freiheitsgraden und dann das mit diesem in Zusammenhang stehende Problem des rotierenden Gebildes in einem Richtungsfelde, wie z. B. die Berechnung der Suszeptibilität der paramagnetischen Körper.

Das erste Problem ist von Planck 2) und Epstein3) be

1) Die vorliegende Untersuchung wurde auf Anregung von Hrn. Privatdozent Dr. S. Ratnowsky ausgeführt. Sie entstand ohne jede Kenntnis der Abhandlung des Hrn. Dr. F. Reiche (Ann. d. Phys. 54. p. 401. 1917), was daraus hervorgeht, daß diese Arbeit schon am 8. Juli 1917 der hohen philosophischen Fakultät, Sektion II, der Universität Zürich als Inauguraldissertation eingereicht wurde. Eine vorläufige Mitteilung wurde auch auf der am 5. Mai 1917 in Biel stattgefundenen Versammlung der Schweizerischen Physikalischen Gesellschaft (vgl. Archives des Sciences Physiques et Naturelles, Genève, 122. année, 4. période) gemacht. Äußere Umstände haben indes die Veröffentlichung dieser Untersuchung bis heute verhindert.

Zürich, 25. Mai 1918,

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2) Verh. d. D. Physik. Ges. 12. p. 416. 1915. Diese Arbeit bezeichnen wir mit Planck I. Die beiden anderen uns hier interessierenden Arbeiten von Planck: Verh. d. D. Physik. Ges. 24. p. 438. 1915 und Ann. d. Phys. 50. p. 385. 1916 zitieren wir mit Planck II bzw. mit Planck III. 3) Verh. d. D. Physik. Ges. 22/23. p. 398. 1916.

Annalen der Physik. IV. Folge. 57.

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handelt worden. Planck führt seine Berechnung für eine frei rotierende Gerade durch, unter der Voraussetzung, daß die beiden Freiheitsgrade kohärent 1) sind, und gelangt zu einer Formel, die für hohe Temperaturen den Äquipartitionswert liefert, für tiefe Temperaturen aber den Wert

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Dieser Ausdruck weicht von dem verdoppelten Werte der rotatorisch-spezifischen Wärme für Gebilde mit einem Freiheitsgrade, wie sie vorher von Holm 2) bestimmt wurde, durch einen Zahlenkoeffizienten (12 statt 8) ab. Epstein kommt aber durch Anwendung eines von ihm und Schwarzschild ausgebildeten Verfahrens zu einer Formel, die, obschon er für zwei Freiheitsgrade rechnet, für hohe Temperaturen nur die Hälfte des Äquipartitions wertes liefert; für tiefe Temperaturen erhält er für

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Das Verfahren, das eine gewisse formale Ähnlichkeit mit dem Planckschen für den Fall der inkohärenten Freiheitsgrade hat, scheint in diesem Punkte mit irgendeinem Versehen behaftet zu sein.

Das zweite oben zitierte Problem ist auf quantentheoretischem Wege von J. v. Weyssenhoff3) für den Fall rotierender Gebilde mit einem Freiheitsgrad eingehend behandelt worden.

§ 2. Wir haben uns die Aufgabe gestellt, das zweite allgemeinere Problem auf der Grundlage der erweiterten Quantenmethode zu lösen. Zu diesem Zwecke mußte in erster Linie ein Problem erfaßt werden, welches an sich für die Quantentheorie von Interesse ist. Dies ist das Problem der Struktur des Phasenraumes bei dem von uns gewählten Modell. Es mußte übrigens auch die Frage entschieden werden, ob die Freiheitsgrade als kohärent oder inkohärent zu betrachten sind. Die Zerteilung des Phasenraumes bei zwei inkohärenten Freiheitsgraden ist von Planck für zwei voneinander prin

1) 1. c. Planck III, p. 393:,,Da die Richtung usw.
2) E. A. Holm, Ann. d. Phys. 42. p. 1311. 1913.
3) J. v. Weyssenhoff, Ann. d. Phys. 51. p. 285. 1916.

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zipiell nicht verschiedene Modelle (den quasi-elastischen und den Coulombschen Oszillator) bestimmt worden, so daß es wünschenswert erscheint, die Anwendbarkeit der Planckschen Grundidee1), wie sie namentlich in der Arbeit über ,,Die physikalische Struktur des Phasenraumes" dargestellt worden ist, auf immer weitere, von einander wesentlich verschiedene, Gebilde zu prüfen.

Zunächst wollen wir hier die Resultate der Anwendung des Planckschen Verfahrens auf den in einem homogenen Magnetfelde um einen festen Punkt rotierenden Dipol ,,ein sphärisches Pendel" für kohärente Freiheitsgrade angeben. Obgleich diese Annahme bei Einführung des Feldes, der Planckschen Auffassung nach, nicht begründet sein soll, schien es uns trotzdem nicht ohne Interesse, diesen Versuch durchzuführen.

Die Resultate, um die es sich hier handelt, beziehen sich auf die rotatorisch-spezifische Wärme einerseits und auf die Suszeptibilität paramagnetischer Körper anderseits. Was die Frage der rotatorisch-spezifischen Wärme anbetrifft, erhalten wir, wie es von vornherein zu erwarten war, bei Vernachlässigung des Feldes den Planckschen Wert.

Bei der Berechnung der Suszeptibilität bekommen wir eine Formel, die, obschon sie für hohe Temperaturen das Curie-Langevinsche Gesetz liefert, für tiefe Temperaturen erfahrungswidrig, und sogar im Gegensatze zur genauen Langevinschen Formel

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den Wert ∞ und für alle anderen Temperaturen der statistischen Mechanik gegenüber einen zu großen Wert ergibt. Es ist bemerkenswert, daß die erhaltene Formel ausschließlich vom Oten Elementargebiete herrührt.

Es erweist sich somit das Verfahren mit kohärenten Freiheitsgraden als eine ungenügende Zerteilung des Phasenraumes, und es wird damit entschieden, daß für das betreffende Modell die Freiheitsgrade als inkohärent aufzufassen sind.

Die Hauptaufgabe dieser Arbeit ist also das Plancksche Verfahren bei Inkohärenz der beiden Freiheitsgrade an

1) 1. c. Planck III.

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